【求解不等式恒成立中参数问题的五大策略】 不等式恒成立的条件

来源:电脑基础 发布时间:2019-06-12 04:35:32 点击:

  不等式恒成立中参数的求解问题由于涉及的知识面比较广,综合性强,因而是高考和竞赛的重点和热点.下面就解决此类问题的五种策略作如下的总结,供同学们参考.   策略一:利用一次函数的性质
  若已知f(x)=ax+b>0对x∈[m,n]恒成立,则f(m)>0,f(n)>0,若已知f(x)=ax+b4x+p-3恒成立的x的取值范围是__________.
  解析:不等式x2+px>4x+p-3可以化为(x-1)p+x2-4x+3>0,记g(p)=(x-1)p+x2-4x+3,∴g(0)=x2-4x+3>0,g(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0,解得x>3或x0(0对于x∈R时恒成立时,得到a>0,?驻=b2-4ac0的解集为R,则实数k的取值范围为__________.
  解析:当k2+4k-5=0时,要使原不等式的解集为R, 则必有一次项系数也为零,且常数项大于零.
  即k2+4k-5=0,4(1-k)=0,3>0, 解得k=1.
  当k2+4k-5≠0时,由二次函数的图像可得k2+4k-5>0,?驻=16(1-k)2-12(k2+4k-5)0),设F(x)=f(x)+g(x).
  ⑴若以y=F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≥■恒成立,求实数a的最大值;
  ⑵若对所有的x∈[e,+∞)都有xf(x)≥ax-a成立,求实数a的取值范围.
  解析:⑴F′(x)=■(00,所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2>0,
  所以h′(x)>0,所以h(x)min=h(e)=■,所以a ≤■.
  【点评】本题通过不等式的恒解变形把参数分离出来,转化为形如af(x)(或g(a)>f(x))的形式,然后再求f(x)的最值,进而得到af(x)max(或g(a)>f(x)max).
  策略四:最值法
  有些不等式恒成立问题不能够分离参数,那么需要我们根据不等式两端的函数的最值之间的不等式,确定参数所满足的不等式,从而求出参数范围.
  例4. 已知不等式(x+y)(■+■)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 .
  解析:(x+y)(■+■)=1+a+■+■≥1+a+2■=(■+1)2,当y=■x时取等号, ∴(x+y)(■+■)的最小值为(■+1)2.于是(■+1)2≥9恒成立,∴a≥4.
  【点评】本题主要是通过对左边的式子(x+y)(■+■)利用基本不等式求出最小值,进而构造出关于参数的不等式.
  策略五:数形结合法
  某些含参数的不等式恒成立问题,既不能够分离参数,又不能转化为某个变量的一次或二次函数时,则可以采用数形结合的方法,对于这类问题我们可以先把不等式(或者经过变形后的不等式)两端的式子看成两个函数,且在同一坐标系下画出它们的图像,然后观察两个图像(尤其要注意交点处和临界处)的位置关系,进而列出含参数的不等式.
  例5. 不等式(x-1)21,loga2≥(2-1)2,即1  【点评】解决本题的关键是在同一坐标系内分别作出两个函数y1=(x-1)2和y2=logax的图像,通过题意寻找临界情况(特别是交点处)的位置关系,从而列出关于参数的不等式.
  解决不等式恒成立问题时,同学们首先要构建函数模型,然后求这个函数的最值.最后采取不等式恒成立问题的五种处理策略进行求解,构建函数模型是手段,求函数最值是关键.
  【小试牛刀】
  1. 若不等式3x2-logaxx恒成立,则实数?姿的取值范围为__________. (答案:(-∞,1])
  4. 设函数f(x)=x-■,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是__________.(答案:m<-1)
  (作者单位:江苏省通州高级中学)
  责任编校 徐国坚

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