二次函数在区间上的最值问题|二次函数区间最值的问题

来源:电脑 发布时间:2019-06-12 04:47:01 点击:

  摘 要:“二次函数在区间上的最值问题”,是高中必修的教程,二次函数在区间上的最值问题,一般分为三大类,(1)定函数定区间(2)动函数定区间;(3)定函数动区间。   关键词:二次函数;区间;最值问题
  中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2012)24-132-01
  二次函数是中学数学中的重要函数,它的性质及应用是高考的重点考查内容,那么在本节,一个难点的问题是“二次函数在区间上的最值问题”这个问题出现在高中教材必修一教材中,对于刚上高中的学生而言,应该算作一个重点问题也是一个难点问题,那么我们如何帮助学生解决这一问题呢?本人做了一下归纳,希望对学生有所帮助。二次函数在区间上的最值问题,一般分为三大类,(1)定函数定区间(2)动函数定区间;(3)定函数动区间
  具体如何解决,本人认为影响二次函数在闭区间上的最值主要由三个因素:抛物线的开口方向,对称轴,和区间位置。二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,他只能在区间端点或二次函数图象的顶点处取得,三大类问题都遵循以下方法。
  二次函数在闭区间上的最值讨论的一般方法:
  当a>0时, f(x)在区间[p,q]上的最大值为M,最小值为m。令X0=(p+q)
  (1)若 <p,则f(p)=m,f(q)=M;
  (2)若p≤ <X0,z则f( )=m, f(q)=M;
  (3)若X0≤ <q,则f(p)=M, f( )=m;
  (4)若 ≥q, f(p)=M, f(q)=m;
  当a<0时,f(x)在[p,q]上的最大值与上述最小值讨论一致,而最小值类似上述最大值讨论。
  问题一 定函数定区间
  例1求函数f(x)=2x2-4x+3在[3,5]上的最值。
  解:配方的f(x)=2(x-1)2+1,所以函数的对称轴为x=1.又因为1<3.所以函数在x=3处获得最小值,在x=5处获得最大值。
  问题二 动函数定区间
  例2求函数y= x2-2ax-1在[0,2]上的最值。
  分析;有y=(x-a)2-(a2+1)可知对称轴为直线x=a是一个变量,应分a<0,0 ≤a≤1, 1<a≤2,a>2四种情况分别讨论。
  解:结合二次函数的图象,观察对称轴直线x=a与区间[0,2]的位置关系,得
  ①当a<0时,ymin=f(0)=-1 ymax=f(2)=3-4a,
  ∴y∈[-1,3-4a];
  ②当0 ≤a≤1时,ymin=-(a2+1),ymax=f(2)=3-4a,
  ∴y∈[-(a2+1),3-4a];
  ③当1<a≤2时,ymin =-(a2+1),ymax =f(0)=-1,
  ∴y∈[-(a2+1),-1];
  4) ④a>2时,ymin=f(2)= 3-4a, ymax =f(0)=-1
  ∴y∈[3-4a,-1].
  问题三 定函数动区间
  例4 设函数f (x) = x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1], t∈R,求函数的最小值&(t)的解析式。
  解:(1)f (x) = (x-2 )2-8
  ①当[t-2,t-1] [2,+∞),即-2≥2时,
  f (x)min= f (t-2)= (t-4)2-8
  ②当[t-2,t-1] (-∞,2],即
  t-1≤2时,f (x)min= f (t-1)= (t-3)2-8
  ③t-2<2<t-1,即3  f (x)min= f (2)=-8
  小结:(1)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a( x-m )2+n的形式的顶点(m,n)或对称轴方程x=m.
  (2)二次函数的最值问题能够将有关二次函数全部知识和行质融合在一起,还经常和实际问题以及其他考点的知识将结合考查学生的函数思想水平和数学抽象能力,所以历来为高考所青睐,解决最值问题的关键是与图像相结合,就是用数形结合的方法解决问题最为直观。
  数学是一门逻辑性很强的学科,对于每一个细小的问题都必须认真加以研究,才能做到融会贯通,讲解时得心应手。

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