第一篇:二元一次方程组
二元一次方程组解法练习题 一．解答题（共 16 小题） 1．解下列方程组 （1） （2） （9） （10） ? x ? 2 y ?1 ? ?2 ? ? 3 2 ? ? x ? 2 ? 1? y ? 1 ? 3 2 ? （3） ? ?5 x ? 2 y ? 11a (a为已知数) ?4 x ? 4 y ? 6a （4） 2．求适合 的 x，y 的值． （5） （6） ． 3．已知关于 x，y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有 （1）求 k，b 的值． （2）当 x=2 时，y 的值． （3）当 x 为何值时，y=3？ 和 ． （7） （8） ? x( y ? 1) ? y (1 ? x ) ? 2 ? 2 ? x( x ? 1) ? y ? x ? 0 1．解下列方程组 （1） （2） ； （9） （10） ； （3） ； （4） 2．在解方程组 （5） ． （6） 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错 了方程组中的 b，而得解为 ． （1）甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？（2）求出原方程组的正确解. （7） （8） 2 二元一次方程组解法练习题精选参考答案与试题解析 一．解答题（共 16 小题） 1．求适合 的 x，y 的值． 故原方程组的解为 ． （2）①×3﹣②×2 得，﹣13y=﹣39， 解得，y=3， 把 y=3 代入①得，2x﹣3×3=﹣5， 解得 x=2． 故原方程组的解为 ， 然后在用加减消元法消去未知数 x， （3）原方程组可化为 ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣ ．所以原方程组的解为 ． ， ． 考点解二元一次方程组． 分析先把两方程变形 （去分母） ， 得到一组新的方程 809625 求出 y 的值，继而求出 x 的值． 解答解：由题意得， 由（1）×2 得：3x﹣2y=2（3） ， 由（2）×3 得：6x+y=3（4） ， （3）×2 得：6x﹣4y=4（5） ， （5）﹣（4）得：y=﹣ ， 把 y 的值代入（3）得：x= ， （4）原方程组可化为： ， ①×2+②得，x= ， ∴ ． 把 x= 代入②得，3× ﹣4y=6， y=﹣ ． 点评本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法． 2．解下列方程组 （1） （2） （3） （4） ． 所以原方程组的解为 ． 考点解二元一次方程组． 分析（1） （2）用代入消元法或加减消元法均可； （3） （4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解． 解答解（1）①﹣②得，﹣x=﹣2， 解得 x=2， 把 x=2 代入①得，2+y=1， 解得 y=﹣1． 809625 点评利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法； ②其中一个未知数的系数为 1 时，宜用代入法． 3．解方程组： 考 解二元一次方程组． 809625 3 点专 计算题． 题分 先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法． 析解 ， 答：解：原方程组可化为 ①×4﹣②×3，得 7x=42， 解得 x=6． 把 x=6 代入①，得 y=4． 所以方程组的解为 ． 考点解二元一次方程组． 专题计算题；换元法． 分析本题用加减消元法即可或运用换元法求解． 解答解， 809625 ①﹣②，得 s+t=4， ①+②，得 s﹣t=6， 即 解得 ， ． ． 所以方程组的解为 点 ； 评：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法． 点评此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法． 6．已知关于 x，y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有 4．解方程组（1）求 k，b 的值． （2）当 x=2 时，y 的值． 作文（3）当 x 为何值时，y=3？ 809625 和 ． 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单． 解答解（1）原方程组化为 ， ①+②得：6x=18， ∴x=3． 代入①得：y= ． 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析（1）将两组 x，y 的值代入方程得出关于 k、b 的二元一次方程组 809625 ，再运用加减消元 法求出 k、b 的值． （2）将（1）中的 k、b 代入，再把 x=2 代入化简即可得出 y 的值． （3）将（1）中的 k、b 和 y=3 代入方程化简即可得出 x 的值． 解答解（1）依题意得： 所以原方程组的解为 ． ①﹣②得：2=4k， 所以 k= ， 所以 b= ． 点评要注意两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时， 把这两个方程的两边相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法． 5．解方程组： （2）由 y= x+ ， 4 把 x=2 代入，得 y= ． 点评这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元， 掌握消元的方法有加减消元法和代入 消元法． 根据未知数系数的特点，选择合适的方法． （3）由 y= x+ 把 y=3 代入，得 x=1． 点评本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法， 通过已知条件的代入， 可得出要求的数． 7．解方程组（1） ； 8．解方程组： 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解． 解答解：原方程组可化为 ， 809625 （2） ． ①+②，得 10x=30， x=3， 代入①，得 15+3y=15， y=0． 则原方程组的解为 ． 考点解二元一次方程组． 分析根据各方程组的特点选用相应的方法（1）先去分母再用加减法， （2）先去括号，再转化为整式 方程解答． 解答解（1）原方程组可化为 ， 809625 点评解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消 元法解方程组． ①×2﹣②得y=﹣1， 将 y=﹣1 代入①得x=1． ∴方程组的解为 ； 9．解方程组： （2）原方程可化为 ， 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题． 解答解：原方程变形为， 809625 即 ， ①×2+②得17x=51， x=3， 将 x=3 代入 x﹣4y=3 中得y=0． ∴方程组的解为 ． 两个方程相加，得 4x=12， x=3． 把 x=3 代入第一个方程，得 4y=11， y= ． 5 化和运用． 解之得 ． 11．解方程组点评本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消 元，即可解出此类题目． 10．解下列方程组（1） （1） （2） （2） 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析此题根据观察可知（1）运用代入法，把①代入②，可得出 x，y 的值； （2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解． 解答解（1） ， 809625 考点解二元一次方程组． 专题计算题；换元法． 分析方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法； 方程组（2）采用换元法较简单，设 x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解． 解答解（1）原方程组可化简为 ， 809625 解得 ． 由①，得 x=4+y③， 代入②，得 4（4+y）+2y=﹣1， 所以 y=﹣ 把 y=﹣ ， 代入③，得 x=4﹣ = ． （2）设 x+y=a，x﹣y=b， ∴原方程组可化为 ， 解得 所以原方程组的解为 ． ， ∴ ∴原方程组的解为 （2）原方程组整理为 ③×2﹣④×3，得 y=﹣24， 把 y=﹣24 代入④，得 x=60， 所以原方程组的解为 ． ， ． 点评此题考查了学生的计算能力，解题时要细心． 12．解二元一次方程组（1） ； 点评此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解， 学生可以通过题目的训练达到对知识的强 6 （2） ． 得 ， 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析（1）运用加减消元的方法，可求出 x、y 的值； （2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出 x、y 的值． 解答解（1）将①×2﹣②，得 15x=30， x=2， 把 x=2 代入第一个方程，得 y=1． 809625 解得： ． 把 代入方程组 ， 得 解得： ， ． ∴甲把 a 看成﹣5；乙把 b 看成 6； （2）∵正确的 a 是﹣2，b 是 8， ∴方程组为 ， 则方程组的解是 ； （2）此方程组通过化简可得①﹣②得：y=7， 把 y=7 代入第一个方程，得 x=5． 则方程组的解是 ． ， 解得：x=15，y=8． 则原方程组的解是 ． 点评此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答． 点评此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解， 学生可以通过题目的训练达到对知识的强 化和运用． 14． 13．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错了方 程组中的 b，而得解为 ． 考点解二元一次方程组． 分析先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可． 解答解：由原方程组，得 809625 （1）甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可； （2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的 a、b，然后用适当的方法解方程组． 解答解（1）把 代入方程组 ， 809625 ， 由（1）+（2） ，并解得 x= （3） ， 把（3）代入（1） ，解得 y= 7 16．解下列方程组（1） ∴原方程组的解为 ． （2） 点评用加减法解二元一次方程组的一般步骤1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去 乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等； 2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3．解这个一元一次方程； 4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组 的解． 15．解下列方程组（1） ； 考点解二元一次方程组． 分析观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解． 解答解（1）①×2﹣②得：x=1， 将 x=1 代入①得2+y=4， y=2． 809625 ∴原方程组的解为 ； （2）原方程组可化为 ①×2﹣②得﹣y=﹣3， y=3． 将 y=3 代入①得x=﹣2． ∴原方程组的解为 ． ， （2） ． 考点解二元一次方程组． 分析将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元． 解答解（1）化简整理为 ， 809625 ①×3，得 3x+3y=1500③， ②﹣③，得 x=350． 把 x=350 代入①，得 350+y=500， ∴y=150． 故原方程组的解为 ． 点评解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解． （2）化简整理为 ①×5，得 10x+15y=75③， ②×2，得 10x﹣14y=46④， ③﹣④，得 29y=29， ∴y=1． 把 y=1 代入①，得 2x+3×1=15， ∴x=6． 故原方程组的解为 ． ， 点评方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程． 8第一篇:二元一次方程组
1 实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来， 找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示 的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线 段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程； ； ； (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观， 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量. 3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2) ；(3)利润＝成本（进价）×利润率； (4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 注意“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价 的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4．储蓄问题(1)基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式 ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。 2 ④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥ 注意：免税利息=利息 5．配套问题解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6．增长率问题解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 7．和差倍分问题解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 8．数字问题： 。 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数时， 奇数可表示为 2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字 10+个位数字 9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量. 10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的 12．优化方案问题在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社 购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元； 3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组 成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案. 要点诠释(1)解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否 合理，不符合题意的解应该舍去； (2)“设”“答”两步，都要写清单位名称； 、 (3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 ①弄清各种题型中基本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方 程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单 位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列 方程组解应用题一定要注意检验。 3 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 1．甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小 时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意： (1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系： ①相向而行：汽车行驶 小时的路程＋拖拉机行驶 小时的路程＝160 千米; ②同向而行：汽车行驶 小时的路程＝拖拉机行驶 小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行 千米，拖拉机的速度为每小时 千米. 根据题意，列方程组 解这个方程组，得: . 答：汽车行驶了 165 千米，拖拉机行驶了 85 千米. 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用 的解决策略。【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小 时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 4 【变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中 的速度和水流速度。 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 2． 一家商店要进行装修， 若请甲、 乙两个装修组同时施工， 天可以完成， 8 需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两 组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪 组，商店所付费用最少？ 思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；第二层含义：若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完 成，需付两组费用共 3480 元。设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，由第一 层含义可得方程 8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程 6x+12y=3480. 解：(1)设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，依题意得： 解得 答：甲组单独做一天商店应付 300 元，乙组单独做一天商店应付 140 元。(2)单独请甲组做，需付款 300×12＝3600 元，单独请乙组做，需付款 24×140＝3360 元， 故请乙组单独做费用最少。答：请乙组单独做费用最少。总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总 量设为 1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公 司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从 节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 5 类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整 后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？ 思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率 解：甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，由题意得： ，解得答：两件商品的进价分别为 600 元和 400 元。【变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其中 甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表A 进价（元/件） 售价（元/件） 1200 1380 B 1000 1200 （注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进 A、B 两种商品各多少件； 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱， 一种是年利率为 2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25％的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税） 思路点拨设教育储蓄存了 x 元，一年定期存了 y 元，我们可以根据题意可列出表格： 6 解：设存一年教育储蓄的钱为 x 元，存一年定期存款的钱为 y 元，则列方程： ，解得答：存教育储蓄的钱为 1500 元，存一年定期的钱为 500 元. 总结升华我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等 量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来. 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利 息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴 利息所得税=利息金额×20%） 【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一种， 一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年 期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税)，问小敏的 爸爸两种存款各存入了多少元？ 类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题 5． 某服装厂生产一批某种款式的秋装， 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)， 应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套？ 思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为 132 米；第二个相等关 系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍(注意：别把 2 倍的关 系写反了). 解：设用 米布料做衣身，用 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得： 7 答：用 60 米布料做衣身，用 72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、 衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出 来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个 完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【变式 2】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。 【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面， 用多少立方米木料做桌腿， 做出的桌面和桌腿， 恰好配成方桌？能配多少张方桌？ 类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题 6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出 比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有 总产值（万元） 总支出（万元） 去年 今年 x 120%x y 90%y 利润（万元） 200 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出 8 两个等式。解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，根据题意得： ，解之得答：去年的总产值为 2000 万元，总支出为 1800 万元 总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。【变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口 增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。 类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题 7.（2011 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷 共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加 点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍，恰好按时 完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数 关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷 x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 y 千顶，由题意得： ， 解得所以：1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.5 4=6 答：“爱心”帐篷厂生产帐篷 8 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 6 千顶. 【变式 1】 (2011 年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分—21 时 30 分熄灯一小 时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和 今年共有 119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个，问中国内地去 年、今年分别有多少个城市参加了此项活动． 9 【变式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色 与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人 吗？ 类型八：列二元一次方程组解决——数字问题 8. 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在 较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178， 求这两个两位数。思路点拨：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为100y＋x 解：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。依题意可得： ，解得答：这两个两位数分别为 45，23. 【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之 和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？ 【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换 位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？ 【变式 3】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。 类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题 10 9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比 是 4∶1，今要得到酒精与水的比为 3∶2 的酒精溶液 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？ 思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以 下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精 质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含 水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取 x kg , y kg.依题意得： ， 答：甲取 20kg，乙取 30kg 法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取 10x kg 和 5y kg， 则甲种酒精溶液含水 7x kg，乙种酒精溶液含水 y kg，根据题意得： ， 所以 10x=20,5y=30. 答：甲取 20kg，乙取 30kg 总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常 用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方 程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千 篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。举一反三【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？ 【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释到 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水多 少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？ 类型十：列二元一次方程组解决——几何问题 10．如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 11 思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两 条长相等，我们设每个小长方形的长为 x，宽为 y，就可以列出关于 x、y 的二元一次方程组。解：设长方形地砖的长 xcm,宽 ycm，由题意得： ， 答：每块长方形地砖的长为 45cm、宽为 15cm。总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图 形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。举一反三【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，则 得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别为多少？ 类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题 11．今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，求现在父亲和儿子的年 龄各是多少？ 思路点拨：解本题的关键是理解“6 年后”这几个字的含义，即 6 年后父子俩都长了 6 岁。今年父亲 的年龄是儿子的 5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，根据这两个相等关系列方程。解：设现在父亲 x 岁，儿子 y 岁，根据题意得： ， 答：父亲现在 30 岁，儿子 6 岁。总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或 减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分 之一.试求出今年小李的年龄. 12 类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题： 12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，每 吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16 吨；如果进行细加工，每天 可加工 6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部 销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在 15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点， 对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解 决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣. 解：方案一获利为：4500×140=630000(元). 方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元). 方案三获利如下设将 吨蔬菜进行精加工， 吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得： ，解得所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元). 因为 630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多 答：方案三获利最多，最多为 810000 元。总结升华优化方案问题首先要列举出所有可能的方案， 再按题的要求分别求出每个方案的具体结果， 再进行比较从中选择最优方案. 举一反三【变式】某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出 厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元，在以上的方案中，为使获 利最多，你选择哪种进货方案？第一篇:二元一次方程组
二元一次方程组解法练习题精选（含答案） 一．解答题（共 16 小题） 1．求适合 的 x，y 的值． 2．解下列方程组 （1） （2） （3） （4） ． 3．解方程组： 4．解方程组： 5．解方程组： 6．已知关于 x，y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有 （1）求 k，b 的值． （2）当 x=2 时，y 的值． （3）当 x 为何值时，y=3？ 7．解方程组（1） ； 和 ． （2） ． 8．解方程组： 9．解方程组： 10．解下列方程组（1） （2） 11．解方程组： （1） （2） 12．解二元一次方程组（1） ； （2） ． 13．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错了方程组中的 b， 而得解为 ． （1）甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 14． 15．解下列方程组： （1） ； （2） ． 16．解下列方程组（1） （2） 二元一次方程组解法练习题精选（含答案） 参考答案与试题解析 一．解答题（共 16 小题） 1．求适合 的 x，y 的值． 考点解二元一次方程组． 分析先把两方程变形（去分母） ，得到一组新的方程 809625 ，然后在用加减消元法消去未知数 x，求出 y 的 值，继而求出 x 的值． 解答解：由题意得， 由（1）×2 得：3x﹣2y=2（3） ， 由（2）×3 得：6x+y=3（4） ， （3）×2 得：6x﹣4y=4（5） ， （5）﹣（4）得：y=﹣ ， 把 y 的值代入（3）得：x= ， ∴ ． 点评本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法． 2．解下列方程组 （1） （2） （3） （4） ． 考点解二元一次方程组． 分析（1） （2）用代入消元法或加减消元法均可； （3） （4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解． 解答解（1）① 得，﹣x=﹣2， ﹣② 809625 解得 x=2， 把 x=2 代入① 得，2+y=1， 解得 y=﹣1． 故原方程组的解为 ． （2）① ×3﹣② 得，﹣13y=﹣39， ×2 解得，y=3， 把 y=3 代入① 得，2x﹣3×3=﹣5， 解得 x=2． 故原方程组的解为 ． （3）原方程组可化为 ① 得，6x=36， +② x=6， ① 得，8y=﹣4， ﹣② y=﹣ ． ， 所以原方程组的解为 ． （4）原方程组可化为： ， ① ×2+② 得，x= ， 把 x= 代入② 得，3× ﹣4y=6， y=﹣ ． 所以原方程组的解为 ． 点评利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法① 相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法； ② 其中一个未知数的系数为 1 时，宜用代入法． 3．解方程组： 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 809625 分析先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法． 解答解：原方程组可化为 ， ① ×4﹣② ×3，得 7x=42， 解得 x=6． 把 x=6 代入① ，得 y=4． 所以方程组的解为 ． 点评注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减 法． 4．解方程组： 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单． 解答解（1）原方程组化为 ， 809625 ① 得：6x=18， +② ∴ x=3． 代入① 得：y= ． 所以原方程组的解为 ． 点评要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消 去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法． 5．解方程组： 考点解二元一次方程组． 专题计算题；换元法． 分析本题用加减消元法即可或运用换元法求解． 解答解， 809625 ① ，得 s+t=4， ﹣② ① ，得 s﹣t=6， +② 即 ， 解得 ． ． 所以方程组的解为 点评此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法． 6．已知关于 x，y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有 （1）求 k，b 的值． （2）当 x=2 时，y 的值． （3）当 x 为何值时，y=3？ 和 ． 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析（1）将两组 x，y 的值代入方程得出关于 k、b 的二元一次方程组 809625 ，再运用加减消元法求出 k、b 的值． （2）将（1）中的 k、b 代入，再把 x=2 代入化简即可得出 y 的值． （3）将（1）中的 k、b 和 y=3 代入方程化简即可得出 x 的值． 解答解（1）依题意得① 得：2=4k， ﹣② 所以 k= ， 所以 b= ． （2）由 y= x+ ， 把 x=2 代入，得 y= ． （3）由 y= x+ 把 y=3 代入，得 x=1． 点评本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数． 7．解方程组（1） ； （2） ． 考点解二元一次方程组． 分析根据各方程组的特点选用相应的方法（1）先去分母再用加减法， （2）先去括号，再转化为整式方程解答． 809625 解答解（1）原方程组可化为 ① ×2﹣② 得y=﹣1， 将 y=﹣1 代入① 得x=1． ∴ 方程组的解为 ； ， （2）原方程可化为 ， 即 ， ① ×2+② 得17x=51， x=3， 将 x=3 代入 x﹣4y=3 中得y=0． ∴ 方程组的解为 ． 点评这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法． 根据未知数系数的特点，选择合适的方法． 8．解方程组： 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解． 解答解：原方程组可化为 ， 809625 ① ，得 10x=30， +② x=3， 代入① ，得 15+3y=15， y=0． 则原方程组的解为 ． 点评解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方 程组． 9．解方程组： 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题． 解答解：原方程变形为， 809625 两个方程相加，得 4x=12， x=3． 把 x=3 代入第一个方程，得 4y=11， y= ． 解之得 ． 点评本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可 解出此类题目． 10．解下列方程组（1） （2） 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析此题根据观察可知（1）运用代入法，把① 代入② ，可得出 x，y 的值； （2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解． 解答解（1） ， 809625 由① ，得 x=4+y③ ， 代入② ，得 4（4+y）+2y=﹣1， 所以 y=﹣ 把 y=﹣ ， 代入③ ，得 x=4﹣ = ． 所以原方程组的解为 ． （2）原方程组整理为 ， ③ ×2﹣④ ×3，得 y=﹣24， 把 y=﹣24 代入④ ，得 x=60， 所以原方程组的解为 ． 点评此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用． 11．解方程组： （1） （2） 考点解二元一次方程组． 专题计算题；换元法． 分析方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法； 方程组（2）采用换元法较简单，设 x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解． 解答解（1）原方程组可化简为 ， 809625 解得 ． （2）设 x+y=a，x﹣y=b， ∴ 原方程组可化为 ， 解得 ， ∴ ∴ 原方程组的解为 ． 点评此题考查了学生的计算能力，解题时要细心． 12．解二元一次方程组（1） ； （2） ． 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析（1）运用加减消元的方法，可求出 x、y 的值； （2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出 x、y 的值． 解答解（1）将① ×2﹣② ，得 15x=30， x=2， 把 x=2 代入第一个方程，得 y=1． 809625 则方程组的解是 ； （2）此方程组通过化简可得① 得：y=7， ﹣② 把 y=7 代入第一个方程，得 x=5． 则方程组的解是 ． ， 点评此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用． 13．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错了方程组中的 b， 而得解为 ． （1）甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 考点解二元一次方程组． 专题计算题． 分析（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可； （2）把甲乙所求的解分别代入方程② ，求出正确的 a、b，然后用适当的方法解方程组． 和① 解答解（1）把 代入方程组 ， 809625 得 ， 解得： ． 把 代入方程组 ， 得 解得： ， ． ∴ 甲把 a 看成﹣5；乙把 b 看成 6； （2）∵ 正确的 a 是﹣2，b 是 8， ∴ 方程组为 解得：x=15，y=8． 则原方程组的解是 ． ， 点评此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答． 14． 考点解二元一次方程组． 分析先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可． 解答解：由原方程组，得 809625 ， 由（1）+（2） ，并解得 x= （3） ， 把（3）代入（1） ，解得 y= ， ∴ 原方程组的解为 ． 点评用加减法解二元一次方程组的一般步骤1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两 边，使一个未知数的系数互为相反数或相等； 2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3．解这个一元一次方程； 4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解． 15．解下列方程组（1） ； （2） ． 考点解二元一次方程组． 分析将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元． 809625 解答： 解（1）化简整理为 ① ×3，得 3x+3y=1500③ ， ② ，得 x=350． ﹣③ 把 x=350 代入① ，得 350+y=500， ∴ y=150． 故原方程组的解为 ． ， （2）化简整理为 ① ×5，得 10x+15y=75③ ， ② ×2，得 10x﹣14y=46④ ， ③ ，得 29y=29， ﹣④ ∴ y=1． 把 y=1 代入① ，得 2x+3×1=15， ∴ x=6． 故原方程组的解为 ． ， 点评方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程． 16．解下列方程组（1） （2） 考点解二元一次方程组． 分析观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解． 解答解（1）① ×2﹣② 得：x=1， 将 x=1 代入① 得2+y=4， y=2． 809625 ∴ 原方程组的解为 ； （2）原方程组可化为 ① ×2﹣② 得﹣y=﹣3， y=3． 将 y=3 代入① 得x=﹣2． ∴ 原方程组的解为 ． ， 点评解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解．